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下面是好范文小编分享的导数教学设计3篇(导数 教学设计),供大家参考。
导数教学设计1
几个常用函数的导数教学设计
一、课题引入
情境一:我们知道,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率,物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那么,对于函数y?f(x),如何求它的导数呢? 问题1:导数是用什么来定义的?(平均变化率的极限)
问题2:平均变化率的极限如何计算?(求增量,求比值,取极限)
问题3:以上求导数的过程用起来是否方便?我们有没有必要归结一下公式便于以后的运算? 情境二:
1.利用定义求出函数①y?c的导数
2.若y?c表示速度关于时间的函数,则y??0可以如何解释?如何描述物体的运动状态? 我们知道,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率,物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那么,对于函数y?f(x),如何求它的导数呢?
由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但这种方法在运算上很麻烦,有时甚至很困难,为了能够较快地求出某些函数的导数,从这一节课开始我们将研究比较简捷的求导数的方法,下面我们先求几个常用的函数的导数. 二.新课讲授
1.函数y?f(x)?c的导数 知识点
根据导数定义,因为?yf(x??x)?f(x)c?c???0 ?x?x?x?y?lim0?0 所以y??lim?x?0?x?x?0y??0表示函数y?c图像(图)上每一点处的切线的斜率都为0.若y?c表示路程关于时间的函数,则y??0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即物体一直处于静止状态. 2.函数y?f(x)?x的导数
?yf(x??x)?f(x)x??x?x???1 因为?x?x?x?y?lim1?1 所以y??lim?x?0?x?x?0y??1表示函数y?x图像(图)上每一点处的切线的斜率都为1.若y?x表示路程关于时间的函数,则y??1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动. 练习:在同一直角坐标系中,分别画出函数y?2x,y?3x,y?4x的图象,求出它们的导数。
(1)从图象上看,它们的导数分别表示什么?(2)这三个函数,哪一个增加得最快,哪一个增加的最慢?(3)函数y?kx?k?0?增(减)的快慢与什么有关?
3.函数y?f(x)?x2的导数
?yf(x??x)?f(x)(x??x)2?x2??因为 ?x?x?xx2?2x?x?(?x)2?x2??2x??x
?x所以y??lim?y?lim(2x??x)?2x
?x?0?x?x?0y??2x表示函数y?x2图像(图)上点(x,y)处的切线的斜率都为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,表明:当x?0时,随着x的增加,函数y?x2减少得越来越慢;当x?0时,随着x的增加,函数y?x2增加得越来越快.若y?x表示路程关于时间的函数,则y??2x可以解释为某物体做变速运动,它在时刻x的瞬时速度为2x. 4.函数y?f(x)?21的导数 x11??yf(x??x)?f(x)x??xx因为 ???x?x?x?x?(x??x)1??2
x(x??x)?xx?x??x?y11?lim(?2)??2
?x?0?x?x?0x?x??xx1练习作出函数y?的图象,根据图象,描述它的变化情况,并求出其在点(1,1)处的切x所以y??lim线方程
5.函数y?f?x??x的导数
x??x?x
?x因为?yf(x??x)?f?x????x?x
=?x??x?x?xx??x?x1x??x?x ???x??x?x??
=所以y??lim?y11 ?lim??x?0?x?x?0x??x?x2xnn?16.推广:若f?x??x?n?Q?,则f?(x)?nx
练习求下列函数的导数
(1)y?x3(2)y?1 x2(3)y?三.例题讲解 3x(4)y?x2x
3例1.曲线y?x上哪一点的切线与直线y?3x?1平行?
解:设点P(x0,y0)为所求,则 它的切线斜率为k?3,∵f?(x)?3x,∴3x0?3,x0??1,∴P(1,1)或P(?1,?1).
例2.证明:曲线xy?1上的任何一点P(x0,y0)(x0?0)的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数. 解:由xy?1,得y?∴y??()???221,x1x1,x2
∴k?f?(x0)??1,2x0过点P(x0,y0)的切线方程为
y?y0??1(x?x0),2x02,x0令x?0得y?令y?0得x?2x0,∴过P(x0,y0)的切线与两坐标轴围成的三角形面积
S?12??2x0?2是一个常数. 2x0四.课时小结
C??0,xn
五、作业 ????nx?n?Q? n?
1六、板书设计
七、教学反思
导数教学设计2
利用导数解决切线问题教学设计
一、教材分析
1、地位和作用:本节课属于高三数学一轮复习中导数及其应用章节的内容,属于北师大版高中数学(选修2-2)的第二、三章,导数及其应用是高考的常考题型,尤其是利用导数解决切线问题更是高考解答题的常考题型,因此本节课的学习对一轮复习至关重要。
2、学情分析:本级学生基础较差,所以,一般思维反应较慢,不适合速度较快,步骤跳跃式讲解,尤其对主动的回答问题又惧怕心理,本节课主要让学生自己动手研究,根据任课教师的引导,主动分析题目,进一步提高学生的短板和数学思维能力。
二、教学目标
1、知识与技能:①理解导数的几何意义。
②使学生熟悉利用导数解决切线问题三原则。
1③会求y?,y?ex的导数。
x2、过程与方法:和学生一起总结利用导数解决切线问题的三原则,通过两
道高考真题培养学生的运算能力,归纳总结能力,和逻辑推理能力。
3、情感态度与价值观:培养学生不断探索发现新知识的精神,辩证唯物主
义思想。
4、教学重点
重点:熟知利用导数解决切线问题三原则。
5、教学难点
难点:未知切点求切线的方程。三、教法学法
教法分析:本节课的重点是利用导数解决切线问题三原则,因此需要通过实际例题来让学生学会具体应用,真正的理解利用导数解决切线问题三原则,本节课需要学生具有一定的运算能力,因此本节课应该教师为主导学生为主体,让学生通过教师讲解反复练习,并达到融会贯通。
学法分析:让学生主动探究,通过合作学习,主动研究并总结利用导数解决切线问题三原则,并主动动手进行运算,在实际操作中熟练应用,并发现问题,提出问题,解决问题,极大的提升了学生的学习和探究兴趣。
教学手段:学生展示,教师利用多媒体展示 四、教学过程
1、总结利用导数解决切线问题三原则:
(1)点在切线上
(2)切点在曲线上
(3)切点处的导数是切线的斜率 学生和教师一起进行总结,并摘抄下来 2、高考真题讲解:
教师讲解之前,学生先暂停视频进行解答,而后点击视频继续观看,有问题的地方可以反复看进行研究,直到完全明白
2014年广东高考题:
曲线y??5ex?3在点(0,-2)处的切线方程为______________
解析:?f(x)??5ex?3,?f'(x)??5ex, 切线斜率k?f'(0)??5,?所求的切线方程为y?(?2)??5x,即y??5x?年江苏高考题: b在平面直角坐标系xoy中,若曲线y?ax2?(a,b为常数),过点P(2,?5),x 且曲线在点P处的切线与直线7x?2y?3?0平行,则a?b?__________.bb 解析:曲线y?ax2?过点P(2,-5),则4a???5x2bb7 又y'?2ax?2,?4a???x42
由①②解得: a??1,b??2,a?b??3本节课小结:
由学生对本节课内容自行进行总结,并根据题目再次熟知利用导数解决切线问题三原则
导数概念教学设计
变化率与导数教学设计(共7篇)
导数证明.
函数单调性与导数教学设计(共4篇)
导数题答案
导数教学设计3
《导数的概念》教学设计
1.教学目标
(1)知识与技能目标:掌握导数的概念,并能够利用导数的定义计算导数.(2)过程与方法目标:通过引入导数的概念这一过程,让学生掌握从具体到抽象,特殊到一般的思维方法;领悟极限思想;提高类比归纳、抽象概括的思维能力.
(3)情感、态度与价值观目标:
通过合作与交流,让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦,体会数学的理性与严谨,激发学生对数学知识的热爱,养成实事求是的科学态度.
2.教学重、难点
重点:导数的定义和利用定义如何计算导数. 难点:对导数概念的理解.
3.教学方法
1.教法:引导式教学法
在提出问题的背景下,给学生创设自主探究、合作交流的空间,指导学生类比探究形成导数概念的形成.
2.教学手段:多媒体辅助教学
4.教学过程
(一)情境引入
导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马(Fermat)为研究极值问题而引入的,但导数作为微积分的最主要的概念,却是英国数学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼兹(Leibniz)在研究力学与几何学的过程中建立起来的。
17世纪数学家遇到的三类问题:
一是光的反射问题。光的反射和折射在17世纪是一个十分盛行的研究课题,早在公元1世纪,古希腊数学家海伦(Heron)就已经证明了光的反射定律:光射向平面时,入射角等于反射角。海伦还将该定律推广到圆弧的情形,此时,入射光与反射光与圆弧的切线所成角相等。那么,对于其他曲线,光又如何反射呢?这就需要确定曲线的切线。
CBCBAA
图 1 光在平面上的反射 图 2 光在球面上的反射
二是曲线运动的速度问题。对于直线运动,速度方向与位移方向相同或相反,但如何确定曲线运动的速度方向呢?这就需要确定曲线的切线。
三是曲线的交角问题。曲线的交角是一个古老的难题。自古希腊以来,人们对圆弧和直线构成的角——牛头角(图3中AB弧与AC构成的角)和弓形角(图4中AB与ACB弧所构成的角)即有过很多争议。17世纪数学家遇到的更一般的问题是:如何求两条相交曲线
所构成的角呢?这就需要确定曲线在交点处的切线。(二)探索新知
问题1 已知:匀加速直线运动方程为:s(t)?v0t?刻(t0?[0,T])的瞬时速度。
问题解决:设t为t0的邻近时刻,则落体在时间段[t0,t](或[t,t0])上的平均速度为
12at,t?[0,T],求:物体在t0时2v?若t?t0时平均速度的极限存在,则极限
S(t)?s(t0)
t?t0v?limt?t0s(t)?s(t0)
t?t0为质点在时刻t0的瞬时速度。
问题2已知:曲线y?f(x)上点M(x0,y0),求:M点处切线的斜率。
下面给出切线的一般定义;设曲线C及曲线C上的一点M,如图,在M外C上另外取一点N,作割线MN,当N沿着C趋近点M时,如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线。
问题解决:取在C上M附近一点N(x,y),于是割线PQ的斜率为
tan??y?y0f(x)?f(x0)(?为割线MN的倾角)?x?x0x?x0当x?x0时,若上式极限存在,则极限
k?tan??为点M处的切线的斜率。
导数的定义
定义
设函数y?f(x)在x0的某邻域内有定义,若极限limx?x0f(x)?fx(0)(?为割线MT的倾角)limx?x0x?x0f(x)?f(x0)存在,则称函数
x?x0
f在点x0处可导,并称该极限为f在点x0处的导数,记作f'(x0)。
即 f'(x0)?(2)
也可记作y?x?x,of(x)?fx(0)
limx?x0x?x0dydx,x?xodf(x)。若上述极限不存在,则称f在点x0处不可导。
dxx?xof在x0处可导的等价定义:
设x?x0??x,?y?f(x0??x)?f(x0),若x?x0则等价于?x?0,如果 函数f在点x0处可导,可等价表达成为以下几种形式:
f'(x0)?limx?x0?yf(x)?f(x0)
?f'(x0)?lim?x?0?xx?x0?f'(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0)
?x单侧导数的概念
在函数分段点处或区间端点等处,不得不考虑单侧导数:
定义
设函数y?f(x)在点x0的某右邻域(x0,x0??)上有定义,若右极限
?x?0lim?f(x0??x)?f(x0)?y?lim?(0??x??)?x?x?0?x存在,则称该极限为f在点x0的右导数,记作f?'(x0)。
?左导数
f?'(x0)?yli?m。?x?0?x左、右导数统称为单侧导数。
导数与左、右导数的关系:若函数y?f(x)在点x0的某邻域内有定义,则f'(x0)存在?f?'(x0),f?'(x0)都存在,且f?'(x0)=f?'(x0)。
(三)知识巩固
2例题1 求f(x)?x在点x?1处的导数,并求曲线在点(1,1)处的切线方程。
解:由定义可得:
?yf(1??x)?f(1)(1??x)2?1f'(1)?lim?lim?lim
?x?0?x?x?0?x?0?x?x2?x??x2?lim?lim(2??x)?2 ?x?0?x?0?x附注:在解决切线问题时,要熟悉导数的定义,并能通过导数的几何意义来解决一般问题
例题2设函数f(x)为偶函数,f?(0)存在,证明:f?(0)?0。
证
'f(x)?f(?x)?f(?x)?f(??x)
f(0??x)?f(0)f(?x)?f(0)?lim ?x?0?x?xf(??x)?f(0)f[0?(??x)]?f(0)??lim??f?(0)
?x?0?x??x 又f(0)?lim ?x?0 ?lim?x?0?f?(0)?0
附注:需要注意公式f'(x0)?limx?x0f(x)?f(x0)的灵活运用,它可以变化成其他的形式。
x?x0例3 证明函数f(x)?|x|在x?0处不可导。
证明
x?0lim?f(x)?f(0)xf(x)?f(0)?x?lim?1lim?lim??1,???x?0x?0x?0x?0xx?0x?limx?0f(x)?f(0)极限不存在。
x?0故f(x)?|x|在x?0处不可导。
附注:判断一个函数在某点处是否可导,只需要考虑该点处的左右导数是否相等即可。
(四)应用提高 求曲线y?x在点(-1,-1)处的切线方程为(A)x?=2x+1 =2x-1 =-2x-3 =-2x-2
(五)小结
本节课主要学习导数的基本概念,在经历探究导数概念的过程中,让学生感受导数的形成,并对导数的几何意义有较深刻的认识。
本节课中所用数学思想方法:逼近、类比、特殊到一般。
(六)作业布置
1.已知f'(1)?2012,计算:
f(1??x)?f(1)f(1??x)?f(1)(2)lim
?x?0?x?0?x??xf(1)?f(1??x)f(1?2?x)?f(1)(3)lim(4)lim
?x?0?x?04?x?x(1)lim2.计算函数f(x)??2x?3在点(1,1)处切线的方程。2